形狀因素對非球面設計的影響

隨著非球面透鏡可用性的增加，光學系統整合商也應對設計過程的基本知識有所瞭解，才能獲得最適合其需求的非球面透鏡。非球面透鏡是一種沒有恒定曲率半徑的光學透鏡，因此並不是指球面透鏡的一部分。使用非球面透鏡可以提高性能，並能減少諸如雷射設備、電影鏡頭、智慧手機相機和手術器械等應用中所需要的透鏡元件數量。

在設計非球面透鏡時，考慮特定透鏡的應用是非常重要的，因為這將決定透鏡的形狀因數。非球面的形狀因數是描述透鏡形狀的表面曲率的比率，通常範圍為-2到+2，如圖1所示。形狀因數的符號是基於透鏡相對于被成像物體的方向。例如，形狀因數為+1表示透鏡的凸面或彎曲面面向物體。

Examples of lenses with varying shape factors.

圖 1：具有不同形狀因數的透鏡圖示

由 Edmund Optics® 製造的大多數非球面透鏡分為兩種不同的形狀因數和設計方法：即 "最佳形態 "非球面透鏡和“高級"非球面透鏡。最佳形態非球面透鏡開始時的形狀係數為-1，因此透鏡的平面側面向物體。而高級非球面透鏡使用相反的配置，其彎曲的表面面向物體，因此其形狀係數為+1（圖2）。透鏡形狀因數直接影響透鏡性能，與最佳形態非球面透鏡設計相比，高級非球面透鏡能夠更好地處理波長和視場角的變化。

圖 2：最佳形態非球面透鏡（左）和高級非球面（右）的方向比較，其區別在於哪個表面朝向物體。

最佳形態非球面透鏡

最佳形態非球面透鏡是封閉式解決方案，這意味著在設計這些非球面透鏡時有一個明確的優越做法。雖然這使得設計更簡單，但也限制了性能。最佳形態非球面透鏡的曲面開始時的基錐常數為-1。圓錐常數是用以下公式求出 $ \small{ k = -1 \times n^2} $ 其中"$ \small{n} $"是用於透鏡的玻璃或其他材料的折射率。

最佳形態非球面透鏡可在給定波長下實現軸上繞射極限的聚焦光斑，但改變波長會導致色差，且在與設計波長不同的波長上性能就會降低。透鏡的折射率與球差校正隨波長變化，這被稱為球差。這使得最佳形態非球面透鏡成為單色和高準直應用的理想選擇，例如雷射系統。

然而，非球面透鏡的平面直接將入射光線反射回光源，這在某些雷射應用中可能會引發關注。將為-1配置設計的非球面透鏡用於+1配置，使準直源入射到凸面上會導致性能不良。

In best form aspheres, all the optical power comes from the curved surface facing the focused spot, leading to several disadvantages for certain situations (e.g. increased spherochromatism) compared to prime aspheres.

圖3：在最佳形態非球面透鏡中，所有的光功率都來自于面向焦斑的曲面，這在某些情況下導致了一些缺點（例如，與高級非球面透鏡相比，球面色差增大）。

此外，當物體或光源偏離光軸時，最佳形態非球面透鏡還會出現慧差。以小角度呈現，有些小到 0.1 度。因此，這些透鏡只能用於兩種配置中的一種：要麼在透鏡的平面一側入射無限共軛光源，要麼有一個距凸面剛好一個焦距的點光源。

高級非球面透鏡

高級非球面透鏡設計從一個+1的基錐開始，沒有封閉式的解決方案。因此，設計過程更加複雜，必須使用均勻球面非球面多項式來確定所需透鏡的表面垂直高度

(1)$$ Z\left(s\right)= \frac {Cs^2}{1+\sqrt{1-\left(1+k\right)C^2s^2}}+A_4 s^4+A_6 s^6+A_8 s^8 + \, ... $$

(1)

$$ Z\left(s\right)= \frac {Cs^2}{1+\sqrt{1-\left(1+k\right)C^2s^2}}+A_4 s^4+A_6 s^6+A_8 s^8 + \, ... $$

其中：

$ Z $：平行于光軸的表面垂直高度
$ s $：與光軸的徑向距離
$ C $：曲率，半徑的倒數
$ k $：圓錐係數
$ A_4, \, A_6, \, A_8 \, ...$: 4、6、8...階非球面係數

高級非球面透鏡的+1形狀係數表示凸面朝向物體的方向，在這個方向上兩個表面均可折射入射光線。雖然這種設定在某些應用中可能更有效，但使得設計過程更加複雜。對於高級非球面透鏡來說，f/# 接近 1 的透鏡會產生一個複雜的問題。(關於f/#的更多資訊，請參見我們的應用要點：系統光通量、f/# 和數值孔徑））。當低 f/# 透鏡的曲率接近半球的曲率時，入射光線可能會被折射成一定的角度，從而發生全內反射（TIR）。透過在透鏡設定中添加任意圓錐二次曲線來緩解這一問題，從而使斜向光線可以被校正為小於臨界角的角度。

在上述多項式中，第二項和第四項在非球面應用中經常被調整為零，因為第二項影響到透鏡的半徑，第四項影響到圓錐常數。值得注意的是，這些可變常數取決於透鏡的優化和繞射極限的光斑尺寸的存在。對於高級非球面透鏡，第四項可能會有所不同，因為不會影響優化。設計中的任何拐點都可能增加透鏡製造的複雜性和成本。

應獲取非球面透鏡表面曲率的橫截面並檢查拐點。有關非球面透鏡拐點的更多資訊，請參見SPIE 2012 《Asphere design for dummies》一文.¹

最佳形態和高級非球面透鏡的比較

雖然高級非球面透鏡需要更多的時間和設計參與，但與最佳形態非球面透鏡相比的優勢往往是非常值得的。如上所述，最佳形態非球面透鏡往往會與色球差和窄視場相衝突。圖4圖5顯示了兩種設計方法的光斑尺寸比較。高級設計可以減輕這些困擾。高級非球面透鏡的方向允許通過較小的光斑尺寸，因為折射力被分割在兩個表面而不是一個表面。此外，這種方向會導致高級非球面透鏡對光波長的變化不那麼敏感。最後，高級非球面透鏡在處理系統中的離軸光線和未對準方面更勝一籌。相比最佳形態設計，離軸性能更適合這些高級非球面透鏡。然而，儘管高級非球面透鏡優點眾多，但也不乏其缺點。翻轉方向時，性能會變差，並可能發生全內反射。值得慶幸的是，只要熟悉高級非球面透鏡的預期設計並認識到正確方向，就能輕鬆避免這種情況。