超快色散

雖然 色散 對許多類型的雷射系統影響很小，但是在超快雷射應用中的問題特別大。超快雷射的特性是具有以皮秒、飛秒或埃秒計算的短脈衝期。因為海森堡測不準原理，轉換受限的超快脈衝到達脈衝期下限時具有寬廣的波長頻寬 (圖 1)。隨著前述寬廣頻寬的脈衝穿透光學介質，色度色散會讓脈衝期延長，造成超快應用退化。

圖 1: 超快雷射脈衝期縮短，波長頻寬就會增加

色度色散概觀

雷射脈衝穿越光學介質的方式是以群速 $ \small{v_g}$ 說明，也就是介質中光線相位速度與其波數 $ \small{k}$ 之間的變化:

(1)$$ v_g = \left( \frac{\partial k}{\partial \omega} \right)^{-1} = c \left[ \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \omega n \! \left( \omega \right) \right) \right] ^{-1} = \frac{c}{n \! \left( \omega \right) + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega}} = \frac{c}{n_g \! \left( \omega \right)} $$

$ \small{\omega}$ 為光線角頻率、 $ \small{c} $ 為光線在真空環境的速度，而 $ \small{n} $ 則為介質的折射指數。波數 $ \small{k}$ 為 $ \tfrac{2 \pi}{\lambda}$ - 此概念有時稱為波的空間頻率。相位速度與群速之間的差異請參閱 圖 2。

圖 2: 群速定義波封或波包的動作（以藍色標示），同時相速則定義波本身各點的較高頻率動作（以紅色標示）

多種波長的光線穿透物質時，通常長波長（低頻率）的速度會比短波長稍快一些；這是因為頻率（或波長）取決於群速。¹ 這會造成波前相位的光譜變異，就像是通過稜鏡的光線一樣，會因為物質的光譜色散將光線分為組成色彩。由於群速是與頻率相關相位速度的第一導數，因此群速色散 $ \small{\left( \text{GVD} \right)} $ 是與頻率相關反向群速的導數：

(2)$$ \text{GVD} = \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{1}{v_g} \right) = \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{\partial k}{ \partial \omega} \right) = \frac{\partial ^2 k}{\partial \omega ^2} $$

反向群速稱為第一階色散，而 $ \small{ \text{GVD}} $ 則是第二階色散。群速類似於光譜色散，兩者都對應於波長或頻率折射指數的第一導數，而 $ \small{ \text{GVD}} $ 與部分色散也是類似情況，兩者都是與波長或頻率相關的第二導數。設計低 $ \small{ \text{GVD}} $ 光學產品類似於設計良好的色度效能，除了焦點是放在群速及 $ \small{ \text{GVD}} $ 而不是相關的阿貝數及部分色散。

$ \small{ \text{GVD}} $ 不受特定光學介質的長度影響。群組延時色散 $ \small{ \text{GDD}} $ 則將介質長度列入考量，可將 $ \small{ \text{GVD}} $ 乘以長度求得。

(3)$$ \text{GDD} = \text{GVD} \times \text{Length} $$

$ \small{ \text{GVD}} $ 與波長具有高度相依性，一般單位為 $ \tfrac{\text{fs}^2}{\text{mm}} $。例如熔融石英的 $ \small{ \text{GVD}} $ 在 589.3nm 時為 $ \small{+} 57 \tfrac{\text{fs}^2}{\text{mm}} $ ，在 1500nm 時則為 $ \small{−} 26 \tfrac{\text{fs}^2}{\text{mm}} $。在前述波長之間的某處（約 1.3μm）存在零色散波長，此處的 $ \small{ \text{GVD}} $ 為零。圖 3 顯示熔融石英 $ \small{ \text{GVD}} $ 與波長之間的大量變化。在光纖通訊方面， $ \small{ \text{GVD}} $ 一般定義與為波長相關而不是與頻率相關的導數，且通常以 $ \tfrac{\text{ps}}{\text{nm km}} $ 作為指定單位。

圖 3: 比較約 1.3μm 零色散波長熔融石英的 GVD 與波長

超快雷射

超快雷射非常有利，原因包括脈衝期短，並具備高峰值功率，適合各種應用，包括精密的生醫應用、材料加工、微機械加工、非線性顯微鏡及成像，以及通訊等應用。超快雷射可在材料加工及微機械加工等應用提供更理想的尺寸公差，同時消除一般的後加工步驟，並盡量減少對周遭區域造成損傷。² 同樣地，超快雷射可在雷射手術及其他醫療應用減少傷口，同時也減少麻醉及消毒需求。³ 光波包含大量模態時，或是為光線波長一半的整數倍數時，會產生超短雷射脈衝，並透過同相重疊以同調方式發射 (圖 4)；這也就是所謂的鎖模。

圖 4: 在鎖模期間干涉具有許多模態的同調波，會產生時間寬度超短但具有寬廣波長頻寬的脈衝

$ \small{ \text{GVD}} $ 與波長之間的相依性會對超快脈衝造成重大影響；這是因為超快脈衝具有寬廣頻寬，因此會在穿越光學系統時延長超快脈衝的脈衝期 (圖 5)。脈衝從入射脈衝期 $ \small{\tau_{\tiny{\text{In}}}} $ 到輸出脈衝期 $ \small{\tau_{\tiny{\text{Out}}}} $ 的變寬量與 $ \small{ \text{GDD}} $ 有關 (圖 6):

(4)$$ \tau_{\tiny{\text{Out}}}= \tau_{\tiny{\text{In}}} \sqrt{1 + \left( \frac{4 \ln{\left( 2\right)  \times \text{GDD} } }{\tau_{\tiny{\text{In}}} ^2} \right)^2} $$

圖 5: 色散造成超快雷射脈衝變寬。AOM 是聲光調變器，可讓雷射發射脈衝輸出

圖 6: 描繪飛秒超快脈衝穿越不同光學介質後的時間變寬或脈衝期增加等情況。

大部分光學介質具有正色散，因此長波長在穿透時的相位速度會高於短波長相位速度，造成脈衝期延長 (圖 5)12.5），也就是所謂的正啁啾。超快雷射具有寬廣頻寬，因此受色散的影響程度遠高於其他類型雷射。

白光干涉儀是最常用於測量超快光學元件群組延時及 $ \small{ \text{GVD}} $ 的度量方法。更多詳細資訊請參閱 計量學。

除了脈衝變寬以外，色度色散也可能讓光學表面的折射角受頻率影響，造成角度色散以及與頻率相依的路徑長度。如需瞭解色散補償方法以提升超快雷射系統效能，請參閱 高色散反射鏡。

參考資料:

1. Ghatak, Ajoy, and K. Thyagarajan. “Optical Waveguides and Fibers.” University of Connecticut, 2000.
2. Mielke, Michael. “Ultrafast Lasers: Ultrashort Pulse Lasers Bring Cost-Efficient Precision to Micromanufacturing.” Laser Focus World, 8 Apr. 2015.
3. “The Benefits of Femtosecond Lasers and Why We Use Them.” Spindel Eye Associates, 16 May 2017, www.spindeleye.com/blog/2017/05/the-benefits-of-femtosecond-lasers-and-why-we-use-them/.

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