光束品質以及 Strehl 比

雷射資源指南第4.2, 4.3, 4.4, 4.5 及 4.6部份

為了正確預測雷射的真實效能及品質，必須瞭解雷射的共振模式及其 M² 前者說明光束形狀，後者說明光束品質。瞭解雷射效能後，定義搭配雷射使用的任何光學系統真實效能，就可瞭解最終系統效能。光學系統真實效能與其理想狀態下的繞射極限效能是以 Strehl比進行比較。

M² 係數

雷射光束品質是由 M² 係數描述特性，比較光束真實形狀與理想高斯光束形狀。ISO 標準 11146 將 M² 係數定義為¹:

(1)$$ M^2 = \frac{\pi w_0 \theta}{\lambda} $$

在 方程式 1中， w₀ 為束腰、θ 為雷射發散角，λ 則為雷射波長 (圖 1)。如高斯光束傳播所定義，高斯光束發散角是由下列方程式決定:

(2)$$ \theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} $$

將發現的發散角插入 方程式 1 可簡化高斯光束 M² 係數的公式:

(3)$$ M^2 = \frac{\pi w_0}{\lambda} \times \frac{\lambda}{\pi w_0} = 1 $$

圖 1:雷射光束發散角及束腰圖示

因此, M² 係數為 1 時，對應於繞射極限的高斯光束。更大的M² 係數大於 1）則對應於偏離理想的高斯光束。 M² 係數值不可能小於 1。厄米特高斯模式的 M²係數是以 x 方向的 (2n + 1) 及 y 方向的 (2m + 1)決定。² 例如, TEM₁₃ 的 M² 係數在 x 方向為 3，在 y 方向為 7。一般氦氖雷射的 M² 係數介於 1 至 1.1 之間。更多詳情請參閱雷射共振腔模式。

除了雷射光束光學功率以外， M² 係數也決定光束輻射。M² 係數也可用於估計光束傳播時的半徑；其方式為在高斯光束傳播 M² 的所有方程式中，將雷射波長取代為波長與 M² 係數的乘積。³

M² 係數相當重要，因為這代表雷射光束在特定發散情況下的對焦水準。 M² 係數低代表焦點更緊密、更有效的使用光束內部功率，以及更高的雷射可能有效功率。

量測 M² 不像在雷射軸單一平面量測光束輪廓那麼簡單。ISO 11146規定必須在近場和遠場，沿著光學軸在不同位置進行五次光束半徑量測。⁴ 在單一特定平面產生外觀像是理想高斯的光束，且完全不含任何 TEM₀₀ 模式，是可能辦到的 (圖 2)進行多次強度量測以判定雷射 M² 係數的重要性。即使前述特定平面的截面外觀像是完美的高斯分布，光束傳播將具有更大的發散角，與高斯光束非常不同。⁵ 在不同平面進行多次半徑量測，可迅速顯示此光束與真正高斯光束之間的差異。The measured beam radius (w(z)) can be related to the beam waist (w₀), wavelength (λ), and M² factor by:⁶

(4)$$ w \! \left( z \right) ^2 = w^2 _0 \left[ 1 + \left(z - z_0 \right)^2 \left( \frac{M^2 \lambda}{\pi w_0 ^2} \right)^2 \right] $$

Figure 2: This beam cross-section appears Gaussian at a specific plane even though it doesn’t contain any of the TEM00 mode, illustrating the importance of making several intensity measurements along the laser axis to determine a laser’s M<sup>2</sup> factor

圖 2: 此光束截面在特定平面呈現高斯狀態，即使其中並沒有任何 TEM₀₀ 模式；這說明沿著雷射軸

相較於其他光束品質參數，以 M²係數描述光束特性的缺點之一，就是會更著重於「翼側」，也就是光束功率密度較低且最遠離中心的部分，因此有時這種方法更適合用於學術環境，而不是工業應用。

光束參數乘積

光束參數乘積 (BPP) 是評估雷射光束品質的另一項標準，其定義為束腰處光束半徑與半角光束發散的乘積。BPP 一般以 mm mrad 為單位提出，並以下列公式與 M² 係數建立關聯:

(5)$$ \text{BPP} = \frac{M^2 \lambda}{\pi} $$

由於 BPP 與 M2 係數之間為直接比例關係，因此光束參數乘積越大，就代表光束越差。BPP 最小值為 λ/π，只會發生在理想高斯光束。

BPP 常用於描述 M² 係數較大的光纖或半導體雷射特性，以及二極體雷射光纖耦合系統，用於判定可耦合進入光纖的光線品質。

桶中功率

桶中功率 (PIB) 是另一項定義光束品質的標準，通常用於高功率雷射系統，以及材料加工應用。PIB 說明在指定“桶”整合的雷射功率；這大多是加工表面特定半徑的點。這項概念似乎簡單，但遠場的桶形狀必須妥善定義，並依據理想近場雷射光束形狀規格，與理想情況進行比較。
雖然沒有業界標準規定 PIB 的確切定義，但 PIB 大多作為垂直或水平光束品質:⁷

(6)$$ \text{Vertical Beam Quality} = \sqrt{\frac{\text{Ideal Power in Bucket}}{\text{Actual Power in Same Bucket}}} $$

(7)$$ \text{Horizontal Beam Quality} = \frac{\text{Actual Beam Radius at a Given Power}}{\text{Ideal Beam Radius at the Same Power}} $$

類似於 M² 係數及 BPP，PIB 值越低，光束品質就越高。PIB 可視覺化，方式為將定義的“桶”之中的功率分數，繪製為 λ/D 函數圖，其中 D 為近場光束直徑 (圖 3)。垂直光束品質為理想高斯光束桶中功率分數，與特定 λ/D 真實光束桶中功率分數之間比率的平方根，對應於圖中的垂直因次。同樣地，水平光束品質為理想高斯光束的 λ/D 值，與特定桶中功率分數情況下真實光束 λ/D 值之間的比率，對應於圖中的水平因次。

Figure 3: The vertical beam quality of real beam 1 is given by square ratio of the ratio of segment AC to segment AB and the horizontal beam quality of real beam 2 is given by the ratio of segment DF to segment DE7

圖 3: 真實光束 1 的垂直光束品質，是以區段 AC 與區段 AB 之間比率的平方根求得；真實光束 2 的水平光束品質，則是以區段 DF 與區段 DE⁷之間的比率求得

比較圓形與橢圓形光束

考量雷射光束形狀時，判定雷射是否產生圓形或橢圓形光束相當重要。半導體雷射二極體會在 x 及 y 方向發射不同發散角的橢圓形光束，原因是其有效區域呈矩形 (圖 4)。小孔徑的繞射較高，因此尺寸較短的有效區域，可以產生更發散的光束，造成所謂的像散光束。發散角較大的軸定義為快軸，而發散角較小的軸則定義為慢軸。柱面透鏡通常用於將橢圓形光束變為圓形 (圖 5)。如需更多柱面透鏡相關資訊，請參閱雷射光束整型鏡頭。

Figure 4: The geometry of laser diodes causes them to produce elliptical beams with two different divergence angles

圖 4: 雷射二極體的幾何形狀，會產生具有兩種不同發散角的橢圓形光束

Figure 5: Cylinder lenses are often used to circularize an elliptical beam by acting on the fast and slow axes separately

圖 5: 柱面透鏡通常用於將橢圓形光束變圓，方式為分別在快軸及慢軸作用

Strehl 比

M² 係數用於比較雷射真實效能與理想光束，光學系統或元件的 Strehl比則用於比較其真實效能與理想版本。對焦光學元件（包括球面及非球面透鏡）的 Strehl 比，是點光源實際光學元件的焦點輻照度最大值，與理論繞射極限光學元件理想最大輻照度之間的比率 (圖 6)。⁷ Strehl 比為 1 時，代表光學元件處於完美狀態，沒有像差。就一般業界實務而言，若透鏡具有 0.8 以上的 Strehl 比，就將其視為“繞射極限”。

$Figure 6: This lens has a Strehl Ratio of 0.826, which is considered diffraction limited because it is greater than 0.8.$

圖 6:此透鏡的 Strehl 比為 0.826，超過 0.8，因此可視為繞射極限

光學元件的 Strehl 比可利用 方程式 8 與 RMS 穿透波前誤差建立近似關聯，其中 S 為光學元件的 Strehl 比，s 則是波中的光學元件 RMS 波前誤差。⁸ 波前誤差小於 0.2 波時，此項估計為有效。

(8)$$ S = \exp{\left[ - \left( 2 \pi \sigma \right)^2 \right]} $$

如需瞭解更多有關光學元件表面不規則度如何影響其 Strehl 比的資訊，請參閱非球面透鏡不規則度及 Strehl 比。

參考資料

International Organization for Standardization. (2005). Lasers and laser-related equipment – Test methods for laser beam widths, divergence angles and beam propagation ratios (ISO 11146).
A. E. Siegman, “New developments in laser resonators”, Proc. SPIE 1224, 2 (1990)
Paschotta, Rüdiger. Encyclopedia of Laser Physics and Technology, RP Photonics, October 2017, www.rp-photonics.com/encyclopedia.html.
International Organization for Standardization. (2005). Lasers and laser-related equipment — Test methods for laser beam widths, divergence angles and beam propagation ratios — Part 1: Stigmatic and simple astigmatic beams (ISO 11146-1:2005).
A. Siegman, “’Non-Gaussian’ Beam”, OSA Annual Meeting, Long Beach, CA (1997)
Hofer, Lucas. “M² Measurement.” DataRay Inc., 12 Apr. 2016, www.dataray.com/blog-m2-measurement.html.
Strehl, Karl W. A. “Theory of the telescope due to the diffraction of light,” Leipzig, 1894.
Mahajan, Virendra N. "Strehl ratio for primary aberrations in terms of their aberration variance." JOSA 73.6 (1983): 860-861.