瞭解焦距長度和視場

作者： Gregory Hollows, Nicholas James

成像資源指南第1.3部份

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焦距

鏡頭的焦距是描述其聚焦或發散光線強度的基本參數。大焦距表示光線逐漸彎曲，短焦距表示光線以銳角彎曲。一般來說，正焦距的鏡頭會聚光線，而負焦距的鏡頭會使光線發散，但根據鏡頭到被成像物體的距離，也有一些例外。

視場

視場描述了鏡頭系統可以成像的可視區域。這是填充相機感測器的物體部分。這可以透過可成像的物理區域來描述，例如以毫米為單位的水平或垂直視場，或以度為單位指定的角度視場。焦距和視野的關係如下所示。

固定焦距鏡頭

固定焦距鏡頭，亦稱傳統或近心鏡頭，是一種具有固定視場角(AFOV)的鏡頭。儘管視角保持不變，但是，透過對不同工作距離調整鏡頭的焦距，亦可獲得不同尺寸的視場(FOV)。視場角通常被指定為與搭配鏡頭使用之傳感器的水平尺寸（寬度）相關聯的水平全視角。

注意： 不應將固定焦距鏡頭與定焦鏡頭相混淆。固定焦距鏡頭能夠針對不同距離調節鏡頭的焦距，而定焦鏡頭設計用於單一、特定的工作距離。定焦鏡頭的範例包括許多遠心鏡頭和顯微鏡對物鏡。

鏡頭的焦距界定義了鏡頭的視場角。對於給定的傳感器尺寸，焦距越短，鏡頭的視場角就越寬。此外，鏡頭的焦距越短，獲得相同視場所需的距離越短（相較於較長焦距的鏡頭）。對於簡單、薄凸鏡頭，焦距為鏡頭後面到置於鏡頭前無限遠之物件所形成的影像平面之間的距離。從此定義中可以看出，鏡頭的視場角與焦距相關(公式1)，其中：f為焦距（公釐）；h為傳感器的水平尺寸（公釐）(圖1)。

(1)$$ \text{AFOV} \left[ ° \right] = 2 \times \tan ^{-1} { \left( \frac{h}{2f} \right)} $$

For a given sensor size, H, shorter focal lengths produce wider AFOV’s.

圖 1: 對於給定的傳感器尺寸，較短的焦距會產生較廣的視場角。

然而，焦距一般是從鏡頭後 主平面（很少位於成像鏡頭之後實體面）測量；此為出現下列情況的原因之一：使用近軸公式計算的工作距離僅為近似值，以及系統的機械設計應該僅使用電腦模擬產生之數據或從鏡頭規格表擷取之數據來展開。使用鏡頭計算器之近軸計算是加快鏡頭選擇流程的良好出發點，但是應該謹慎使用所得出的數值。

當使用固定焦距鏡頭時，改變系統（相機和鏡頭）的視場有三種方法。第一種通常也是最簡單的選項，為改變從鏡頭到物件之間的工作距離；讓鏡頭逐漸遠離物件平面可增大視場。第二個選項是，將正在使用的鏡頭置換為不同焦距的鏡頭。第三個選項是，變更所用傳感器的尺寸；對於相同的工作距離，較大的傳感器會產生較大的視場，如公式1中定義。

雖然通常採用非常寬的視場角會很方便，但也有一些負面影響需要考慮。首先，某些短焦距鏡頭出現的畸變會顯著影響實際的視場角，並可因不同程度的畸變而造成工作距離相關角度發生變化。其次，當與較長焦距鏡頭選項比較時，短焦距鏡頭一般會艱難地獲得最高水平的效能（請參閱中的最佳實踐3）。此外，短焦距鏡頭還難以覆蓋中等到大型的傳感器尺寸，這限制了其可用性，如第如傳感器相對照明、衰减以及暗角中討論。

改變系統視場的另一種方法是使用 變焦鏡頭或變倍鏡頭；這些類別的鏡頭允許調節其焦距，因此具有可變的視場角。相較於固定焦距鏡頭，變焦鏡頭和變倍鏡頭在尺寸和成本方面存在弊端，並且不能提供與固定焦距鏡頭同等的效能。

相關產品

使用工作距離和視場來確定焦距

在許多應用中，物件的所需距離以及所需的視場（通常為具有額外緩衝空間的物件尺寸）為已知量。此資訊可用於透過公式2中所示的公式來直接確定所需的視場角，其中：WD為距鏡頭的工作距離；AFOV為視場角。公式2用於尋找三角形的頂角，三角形高度等於工作距離；底邊等於水平視場，如圖2所示。注意：實際上，此三角形的頂角很少情況下會位於從其測量工作距離之鏡頭前實體面，並且僅應用作近似值，除非入瞳位置為已知。

(2)\begin{align} \text{AFOV} \left[ ° \right] & = 2 \times \tan ^{-1} \left( \frac{\text{水平視場} \left[ \text{mm} \right] }{2 \, \times \, \text{WD} \left[ \text{mm} \right] } \right) \\ \\ \text{ or } \\ \\ \text{水平視場} \left[ \text{mm} \right] & = 2 \, \times \, \text{WD} \left[ \text{mm} \right] \times \tan \left( \frac{ \text{AFOV} \left[° \right] }{2} \right) \\ \end{align}

在確定所需視場角後，使用公式1可獲得近似焦距，然後在鏡頭規格表或數據表中，可透過尋找最接近之可用焦距（具有適合所用傳感器之必要視場角）來選擇適當的鏡頭。

範例1中得出的14.25°可用於確定所需的鏡頭，但還必須選擇傳感器尺寸。隨著傳感器尺寸增大或減小，鏡頭圖像利用量也隨之改變；這會改變系統的視場角，進而改變整個視場。對於相同焦距，傳感器越大，所獲得的視場角越大。例如，25mm鏡頭可與½"（6.4mm水平）傳感器搭配使用；而35mm鏡頭可與2/3”（8.8mm水平）傳感器搭配使用，因為它們會在其各自的傳感器上大致產生14.5°的視場角。

或者，若已選擇傳感器，可直接從視場和工作距離確定焦距，方法是將公式1代入公式2，如公式3所示，其中，h是傳感器水平尺寸（水平像素數量乘以像素大小）；而f為鏡頭焦距，此二者單位皆為公釐；必須在同一單位系統中測量視場和工作距離。如先前所述，應考慮對系統工作距離提供一定彈性，因為以上範例僅為初階計算並且它們也未考慮畸變。

(3)$$ f = \left( \frac{h \, \times \, \text{WD} }{\text{水平視場}} \right) $$

如前所述，應考慮系統工作距離的一定程度的靈活性，因為上述示例僅是一階近似，並且也沒有考慮失真。

Relationship between FOV, sensor size, and WD for a given AFOV.E

圖 2: 對於給定固定視場角、視場、感測器尺寸和工作距離之間的關係。

使用固定放大倍率的鏡頭計算視場

一般來說，具有固定放大倍率的鏡頭擁有固定或有限的工作距離範圍。雖然使用遠心或其他固定放大倍率的鏡頭因不會透過改變工作距離來考慮不同視場，從而受到更大約束，但針對它們的計算更直接，如公式4中所示。

(4)$$ \text{水平視場} \left[ \text{mm} \right] = \frac{ \text{水平傳感器尺寸} \left[ \text{mm} \right] }{\text{PMAG}} $$

由於所需的視場和傳感器通常是已知的，可透過將公式4重組成公式5來簡化鏡頭選擇流程。

(5)$$ {\text{PMAG}} = \frac{ \text{水平傳感器尺寸} \left[ \text{mm} \right] }{\text{水平視場} \left[ \text{mm} \right] } $$

如果所需放大倍率已知並且工作距離受到約束，則公式3可以重新整理（將h/FOV取代為放大倍率）並用於確定適當的固定焦距鏡頭，如公式6所示。

(6)$$ {\text{PMAG}} = \frac{\text{FL}}{\text{WD}} $$

請注意，公式6為近似計算，對於放大倍率大於0.1或較短的工作距離，其準確度會快速下降。對於超過0.1的放大倍率，應使用固定放大倍率的鏡頭或採用鏡頭的資料檔作電腦模擬（例如Zemax）。出於相同原因，網際網路上常見的鏡頭計算器應該僅供參考。如果有疑問，請查閱鏡頭規格表。

注意： 為了方便起見，視場討論中一般使用水平視場，但必須考慮傳感器寬高比（傳感器寬度與高度之比率），以確保整個物件適合圖像 公式7，其中：寬高比以分數形式使用（例如，4:3=4/3）。

(7)$$ \text{水平視場} = \text{垂直視場} \, \times \, \text{寬高比} $$

雖然大多數傳感器為4:3，但5:4和1:1也很常見。此寬高比的區別還會導致同一種傳感器格式的傳感器出現不同尺寸。本部份中所用之所有公式也可用於垂直視場，前提是傳感器的垂直尺寸被取代為公式中指定的水平尺寸。

鏡頭焦距範例

使用工作距離和視場來確定焦距

範例1： 對於所需工作距離為200mm且水平視場為50mm的系統，視場角(AFOV)為多少？

\begin{align} 2 \times \tan^{-1} \left( {\frac{50 \text{mm}}{2 \times 200 \text{mm}}} \right) & = \text{AFOV} \left[ ° \right] \\ \text{AFOV} & = 14.25° \end{align}