使用短波通與長波通濾光片的製作自訂帶通濾光片

帶通濾光片是僅允許特定波長範圍的光通過，並阻止除此範圍外其他波長光通過的光學濾光片多種現成的帶通濾光片可供選擇，但若應用場景對濾光片的頻寬或中心波長有特殊要求，現有濾光片均不滿足需求時，可以疊加長波通與短波通濾光片製作自訂帶通波長範圍的濾光片。長波通濾光片是能夠在反射短波光的同時，允許長波光穿透、通過的光學濾光片。與之相反，短波通濾光片允許短波光穿透但會反射長波光。如圖1所示，為長波通濾光片與短波通濾光片的示例。

圖 1：長波通與短波通濾光片的穿透率曲線對比

穿透率曲線與Heaviside 階躍函數（數學運算式為 H(λ)）非常相似。如公式1所示，Heaviside階躍函數是在特定區域中有值，而在其他區域為0的特殊分段函數。有值的區域用常數x定義。

(1)$$ H \! \left( \lambda - x \right) = \begin{cases} 0, & \lambda < x \\ 1, & \lambda \geq x \end{cases} $$

H(λ) 可用來表示濾光片的穿透率函數，其中 λ 是入射光波長。圖 2 表示圖 1 中長波通濾光片（LWP）的階躍函數模型。

圖 2：圖 1 長波通穿透率曲線的階躍函數模型

可使用兩個以上的濾光片製成自訂波長範圍的帶通濾光片。這個概念與數學運算中，將兩個Heaviside階躍函數相乘的處理方式非常相似。為了生成一個540nm到545nm的矩形函數，需要對兩個Heaviside階躍函數進行如公式2和公式3中所示的相乘運算。

(2) $$text{Let:}\H_1 = H\left( \lambda - 450 \right) = \begin{cases} 0, & \lambda < 450 \ 1, & \lambda \geq 450 \end{cases} $$

$$ H_2 = H\！\left( -\lambda + 500 \right) = \begin{cases} 0, & \lambda > 500 \ 1, & \lambda \leq 500 \end{cases} $$

$$ H_1 \times H_2 = \text{BP}_{1, 2} \！\left( \lambda \right) = \begin{cases} 0, && \lambda < 450 \ 1, & 450 \leq \！&& \lambda \geq 500 \\0, && \lambda > 500 \end{cases} $$